兩輪移動機器人是一個強耦合、欠驅動、復雜的非線性系統，其原理類似于行走的倒立擺系統，這種系統在控制理論和實際工程中極為典型，具有很高的學術研究價值。本文針對基于陀螺效應的雙飛輪移動機器人的單輸入四階非線性動力學系統的控制器進行研究。首先對雙飛輪移動機器人的自平衡原理進行力學分析，將四階非線性系統的狀態變量嵌入在一個滑模面上，采用李雅普諾夫第二法確定滑模控制律，用一個控制量實現四個狀態變量的控制。再用Matlab/Simulink搭建控制仿真平臺對移動機器人的動力學模型進行仿真，仿真結果表明該滑模控制律能實現一個控制量對四個狀態變量的控制，且使雙飛輪移動機器人模型在初始傾斜角度為30度的情況下，仍能穩定到平衡狀態；此控制器還實現了對飛輪偏轉角與偏轉角速度的控制。

　　雙飛輪移動機器人的工作原理

　　飛輪的陀螺效應如圖1所示，轉動慣量為的飛輪，以角速度繞軸旋轉。令飛輪以偏轉的角速度繞軸發生偏轉，則飛輪因陀螺效應將產生一個沿軸正方向的陀螺力矩M。M=Jωω0雙飛輪移動機器人的機械模型如圖2所示。旋轉電機帶動飛輪以角速度ω繞Z軸旋轉，當機器人的右側受到撞擊力時，控制系統令偏轉電機帶動飛輪以角速度ω繞Y軸偏轉，飛輪即可產生抵消撞擊力的陀螺力矩，保持機器人的側向平衡。本設計采用了雙陀螺聯動結構設計，具體結構如圖3所示，采用齒輪傳動機構控制兩個偏轉軸同步偏轉且方向相反。對圖3中前、后飛輪產生的陀螺力矩進行正交分解可得：

　　式(1)~(4)中α為飛輪的偏轉角，JZ2、JZ3分別為前、后飛輪的轉動慣量，ωZ2、ωZ3分別為前、后飛輪的自轉角速度，ωY2、ωY3分別為前、后飛輪的偏轉角速度。MX2、MX3分別是前、后飛輪產生的陀螺力矩，表示前飛輪產生的陀螺力矩；在機器人平面坐標軸X1負方向的分力矩，表示前飛輪產生的陀螺力矩在機器人平面坐標軸Z1負方向的分力矩，表示后飛輪產生的陀螺力矩在機器人平面坐標軸X1負方向的分力矩，表示后飛輪產生的陀螺力矩在機器人平面坐標軸Z1正方向的分力矩，由ωZ2和ωZ3大小相等、方向相反，ωY2和ωY3大小相等、方向相反，JZ2、LZ3大小相等可得維持移動機器人平衡時的修正力矩和豎直方向上的分力矩為M2：

　　由（1）-（6）式可得到雙飛輪產生的陀螺力矩只對機器人傾斜作用有影響。

圖2

　　滑模控制器的設計

　　在此基礎上可得雙飛輪移動機器人的動力學方程為：

（７）

　　式（7）中U為偏轉電機兩端的電壓，κ1與偏轉電機有關的常數，τ為控制的占空比即系統的控制輸入，κ2與飛輪偏轉有關的常數，J3為飛輪繞偏轉軸的轉動慣量，ω為飛輪的自轉角速度，J2為飛輪自轉轉動慣量，G為機器人的重力，h為機器人重心離地面的高度，J1為機器人繞傾斜轉軸的轉動慣量。

　　設雙飛輪移動機器人以恒定速度做直線運動，傾斜角為X1，傾斜角速度為X2，飛輪偏轉角為X3，偏轉角速度為X4，則式（7）可改寫為：

（８）

　　考慮到最后的偏轉角趨近于0，則偏轉角與偏轉角速度變量應嵌入在滑模面上，因此選取切換函數為：

　　式（11）中k>0，ε>0。將式（11）代入到式（10）中可得：

（１２）

　　由式（12）可得所設計的滑模控制系統是大范圍漸進穩定的。

　　計算機仿真

　　雙飛輪移動機器人的結構參數和相關系數如表1所示。

　　取初始條件為x=（pi/6,0,0,0），x1d，c1=5，c2=0.005，c3=1，k=2，ε=0.1，k1=0.43，U=12，k2=1，用s-function函數編寫控制算法和動力學模型，并在s-function中用飽和函數代替了切換函數，參數取0.1。用Matlab/Simulink搭建的仿真框圖如圖4所示。

　　通過Simulink仿真得到雙飛輪移動機器人的傾斜角、傾斜角速度、飛輪偏轉角及偏轉角速度的時域響應圖如圖5所示。

　　從圖5可知設計的滑模控制律能實現機器人的傾斜角、傾斜角速度、飛輪偏轉角及偏轉角速度的同時控制，且使機器人在初始傾斜角度為30度的情況下仍能穩定到平衡狀態。

　　結論

　　本文針對雙飛輪移動機器人的單輸入四階非線性動力學系統設計了滑模控制率，實現了一個控制輸入對機器人的傾斜角、傾斜角速度、飛輪偏轉角及偏轉角速度的同時控制，且動態響應良好。用MATLAB/SIMULINK搭建滑模控制的仿真平臺對模型進行仿真，仿真結果表明。此控制器能使機器人在初始傾斜角為30度時能快速恢復到平衡狀態。